第52章 數學城(4)

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第52章數學城（4）

同志們，今天是數學城的奠基儀式，許多人問我為什麼要選擇今天這個日子來舉行這個儀式，我今天可以告訴大家答案，因為210年前的今天，一個義大利人出生了，這個義大利人叫皮亞諾，他是一個偉大的人，如果沒有他，在座的許多人也許沒有資格坐在這裡。

為什麼要這樣說呢？因為樹高千尺根深在沃土。我們的數學水平不管有多高，我們的第一節數學課還記得嗎？教的是什麼？不就是1+1=2嗎？1+1=2構建了我們最基礎的數學知識。但是我自己到了很久很久以後才知道這個1+1=2其實並沒有那麼簡單。因為這要從皮亞諾公理開始說起。

1889年，在數學家戴德金工作的基礎上，皮亞諾在《用一種新方法陳述的算術原理》一書中提出了一個算術公理系統，這個公理系統有九條公理，其中四條是關於“相等”的，五條是刻畫數的，並且以1而不是0作為基本概念。在後來的著作中，皮亞諾對這一算術系統作了修改，去除了關於“相等”的四條公理，並且以0取代1作為基本概念，構造了沿用至的皮亞諾算術公理系統。

人類對數學的認識其實原始社會就開始了。到了皮亞諾那個時代，數學大廈其實已經很高了。但是皮亞諾發現這座數學大廈的基礎還需要加固。於是他總結先人的成就，加上自身的見解，還有同事的意見，建立了皮亞諾算術公理系統。

雖然描述這套公理體系的數學語言發生過不少變化，但這套體系本身一直延用至今。根據這個建立在公理基礎之上的自然數體系，透過引入減法可以得到整數系，再引入除法得到有理數體系。隨後，透過計算有理數序列的極限（由數學家康託提出）或者對有理數系進行分割（由戴德金提出）得到實數系。這一套公理化實數體系連同同時期魏爾斯特拉斯在微積分分析化過程中的貢獻（例如極限定義中的e-δ語言）一道，使得早已被人類應用兩百多年的微積分學能建立在一個堅實的基礎上。

我，還有在座的大多數，都是這個公理系統的受益者。如果沒有這個公理系統我們將難以學會微積分。

注

皮亞諾的這五條公理用非形式化的方法敘述如下：

11是自然數；

2每一個確定的自然數a，都有一個確定的後繼數a'，a'也是自然數（數a的後繼數a'就是緊接在這個數後面的數（a+1），例如，1’=2，2‘=3等等）；

3如果b、c都是自然數a的後繼數，那麼b=c；

41不是任何自然數的後繼數；

5任意關於自然數的命題，如果證明了它對自然數1是對的，又假定它對自然數n為真時，可以證明它對n'也真，那麼，命題對所有自然數都真。(這條公理也叫歸納公設，保證了數學歸納法的正確性)

注：若將0也視作自然數，則公理中的1要換成0。

更正式的定義如下：

一個戴德金-皮亞諾結構為一滿足下列條件的三元組(x，x，f)：

1x是一集合，x為x中一元素，f是x到自身的對映；

2x不在f的值域內；

3f為一單射；

4若a為x的子集並滿足:x屬於a，且若a屬於a，則f(a)亦屬於a，則a=x.

該公理與由皮阿羅公理引出的關於自然數集合的基本假設:

1°p(自然數集)不是空集；2°p到p記憶體在a→a直接後繼元素的一一對映；

3°後繼元素對映像的集合是p的真子集；

4°若p任意子集既含有非後繼元素的元素，又有含有子集中每個元素的後繼元素，則此子集與p重合.